초속 1,400km로 달리는 산타의 썰매

크리스마스이브가 되면 산타클로스 할아버지의 힘들어 하는 모습을  떠올려 봅니다.
1억 6천만 kg이나 되는 선물 꾸러미를 썰매 뒤에 싣고, 106만 마리의 사슴들이 끄는 썰매를 타고, 0.007초 만에 굴뚝으로 들어가 선물을 나누어주고 나오는 모습을 말입니다.
그리고 중력의 14억 배나 되는 힘을 이겨가며 31시간 동안 1억 6천만 가정을 쉬지 않고 방문해야 하는 산타클로스 할아버지의 사랑에 감사하면서 할아버지의 건강도 걱정하게  됩니다.
산타클로스 할아버지가 하루 만에 돌기엔 지구가 너무 큰 것 같습니다.
 
무슨 말인지 크리스마스의 물리학으로 풀어 보겠습니다.(20년 전 인구 기준임)
 
세상은 반지름 6,400km의 거대한 지구 표면을 60억 인구가 빼곡히 메우고 있습니다. 
오늘날 산타클로스의 전설은 다섯 살을 채 넘기지 않은 아이들이 고개를 끄덕일 만한 동화가 되었으며 농담이 되었습니다.
하지만 중학교 3학년 수준의 물리학 지식으로 산타클로스가 크리스마스이브에 했을 '일과 운동'을 한 번쯤 계산해 본다면, 새삼 산타클로스를 존경하고 그분의 선물이 얼마나 고귀하고 값진 것인가 깨닫게 됩니다.

 

산타 썰매

 

산타클로스는 1억 6천만 가정을 방문해야 합니다.

유니세프가 조사한 통계에 따르면,18세 이하 청소년은 전 세계적으로 21억 명에 이른다고 합니다. 그중에서 크리스마스를 기념하지 않는 이슬람교, 불교, 유대교, 힌두교를 믿는 어린이들을 제외하고 나면 약 4억 명의 어린이가 산타클로스의 귀여운 고객이 됩니다. 한 가정에 평균 2.5명의 어린이가 있다고 보고 그중 한 명만 착하다고 가정해도 산타클로스는 1억 6천만 가정을 방문해야 하는 빡빡한 일정에 시달려야 합니다.
 

1초에 1,434가구를 방문해야 합니다.

산타클로스에게 주어진 시간은 크리스마스 이브 단 하룻밤뿐입니다. 지구의자전을 고려해 자전의 반대 방향으로 이동하면서 선물을 나누어줄 경우 약 31시간을 정도를 확보할 수 있습니다. 31시간 동안 1억 6천만 가정을 방문하려면 1초에 1,434 가구를 방문해야 합니다. 다시 말해 0.0007초 만에 지붕 근처에 썰매를 주차시키고, 굴뚝을 통해 집으로 들어가 선물을 놓고,  다시 나와 다른 집으로 이동해야 한다는 것입니다.
 

초속 1,434km로 달려야 합니다.

집과 집 사이를 이동하는 데도 가히 천문학적인 속도가 필요합니다. 반지름 6,400km의 지구 표면적은 5억 1천만㎢가 됩니다. 그 중 29%만이 땅이므로 지표면의 면적은 1억 5천만㎢가 됩니다. 집들이 균일하게 분포해 있다고 가정하면 집과 집 사이의 평균 거리는 약 1km 정도 떨어져 있다고 볼 수 있습니다. 1km씩 떨어진 1억 6천만 가정을 31시간 동안 쉬지 않고 방문하려면 초속 1,434km로 달려야 합니다. 

 

 

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충격파(sonic boom)로 평화롭지 못한 이브저녁

초속 1,434km는 소리가 전달되는 속도의 무려 4,218배, 즉 마하 4,218입니다. 사슴이 달리는 속도가 보통 시속 20km 정도라고 하니, 산타클로스는 보통 사슴이 달리는 속도보다 26만 배나 빠른 속도로 크리스마스이브의 밤하늘을 질주해야 합니다.  썰매가 음속보다 빠르게 질주하면서 우리는 밤새 천둥소리에 시달려야 합니다.
 

운반해야 할 선물의 무게가 1억 6천만kg

한 가정에 주는 선물의 무게를 약 1kg이라 하면 산타클로스가 운반해야 할 선물의 무게가 무려 1억 6천만 kg이 됩니다.
보통 사슴이 끌 수 있는 무게가 약 150kg 정도이므로, 106만 마리의 사슴이 필요합니다.  
 

배달 경로를 어떻게 ...

상황이 이쯤 되고 보면 산타클로스는 '어떤 순서로 아이들의 집을 방문해야 가장 짧은 경로로 온 가정을 돌 수 있을까'하는 문제를 생각하지 않을 수 없습니다.
그러나 안타깝게도 이 문제는 우주의 나이만큼이나 오랜 시간을 계산한다 해도 쉽게 해답을 찾기 어려운 문제입니다.
다음에 설명할 '세일즈맨의 이동 문제'를 보면 1억 6천만 가정을 방문해야 하는 산타클로스가 가장 빠른 경로를 찾으려면 얼마나 오래 걸릴지 굳이 설명하지 않아도 짐작할 수 있을 것입니다. 
 

세일즈맨의 이동 문제(traveling salesman problem)

세일즈맨이 물건을 팔기 위해 다섯 개의 도시를 방문하려고 합니다. 한 도시를 한 번만 방문해야 한다고 가정했을 때 가장 짧은 경로를 어떻게 찾을 수 있을까? 가장 간단한 방법은 모든 경우의 수에 대해 경로를  계산한 다음 비교해 보는 것입니다. 도시가 다섯 개밖에 안될 때는 가능한 경우가 120개뿐이므로 계산하는데 그리 오랜 시간이 걸리지 않습니다. 그러나 도시가 열 개만 돼도 그 경우의 수는 3,628,800으로 늘어납니다.
25개 도시를 방문해야 하는 세일즈맨이 가장 빠른 경로를 찾기 위해서 얼마나 많은 시간을 계산으로 소비해야 할까요?
1초에 1백만 개의 경우의 수를 계산할 수 있는 슈퍼컴퓨터에게 이 일을 시킨다고 해도 무려 4,900억 년이 걸립니다.
우리가 살고 있는 우주의 나이는 대략 100억년. 다시 말해 우주가 탄생된 이래 줄곧 계산해 왔다 해도, 앞으로 그 48배를 더 계산해야 정답을 알 수 있다는 얘기입니다.
 
산타클로스 할아버지께 그냥 마음가는 대로 아무렇게나 돌아다니시라고 말씀드리고 싶습니다.
 

정재승의 과학 콘서트 요약